Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面中，AB⊥AC，AB=AC=a，D为CC₁的中点，
（1）λ为何值时，A₁D⊥平面ABD；
（2）当A₁D⊥平面ABD时，求C₁到平面ABD的距离；
（3）当二面角A-BD-C为60°时，求λ的值．

Answer

（1）以为正交基底建立空间直角坐标系，根据，分别求出向量的坐标，再根据A1D⊥平面ABD，则A1D⊥AD，则=0，可构造一个关于λ的方程，解方程即可得到满足条件的λ值．
（2）由（1）的结论，我们易得到向量的坐标，代入C1到平面ABD的距离公式，即可得到C1到平面ABD的距离；
（3）取BC中点E，连接AE，可得为平面BCD的一个法向量，再求出平面ABD的一个法向量，根据二面角A-BD-C为60°，构造关于λ的方程，解方程即可得到满足条件的λ的值．
【解析】
以为正交基底建立空间直角坐标系，
则（0，0，λa）
（1）
∵A1D⊥平面ABD∴A1D⊥AD
∴0+a2-=0有λ=2
（2）λ=2时，
=（0，a，-a）
∴a
（3）取BC中点E，连接AE，则AE⊥BC，又BB1⊥AE∴AE⊥平面BCD
由  得  
取z=1得|得λ=2