Question

在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE=1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．
（I）AE∥平面BCD；
（II）平面BDE⊥平面CDE．

Answer

（Ⅰ）取BC的中点M，连接DM、AM，证明DM⊥平面ABC，再由AE⊥平面ABC，可得AE∥DM，从而得AE∥平面BCD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得DMAE是平行四边形，故有DE∥AM，再由AM⊥平面BCD证得DE⊥平面BCD．
证明：（Ⅰ） 取BC的中点M，连接DM、AM，由已知可得DM=1，DM⊥BC，AM⊥BC．
又因为平面BCD⊥平面ABC，所以DM⊥平面ABC．…（2分）
因为AE⊥平面ABC，所以，AE∥DM．…（4分）
又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，所以AE∥平面BCD．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE∥DM，又AE=1，DM=1，
所以四边形DMAE是平行四边形，则有DE∥AM．
因为AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD．…（8分）
又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD．
由已知BD⊥CD，则CD⊥平面BDE．…（10分）
因为CD⊂平面CDE，所以，平面BDE⊥平面CDE．…（12分）