Question

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足，n∈N^*．数列{b_n}满足，n∈N^*，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n和数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）若对任意的n∈N^*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由，n∈N*．分别令n=1和2，可分别求出数列的首项和公差，代入可得数列{an}的通项公式，由，n∈N*，可由裂项相消法得到数列{bn}的前n项和Tn；
（2）由（1）中Tn的表达式，然后分n为奇数和n为偶数两种情况，分别求出实数λ的取值范围，综合分类讨论结果，可得答案．
（3）由（1）中Tn的表达式，结合等比数列的性质，可构造关于m，n的方程，根据1＜m＜n及m，n均为整数，可得答案．
【解析】
（1）在an2=S2n-1中，令n=1，n=2，
得，即 （2分）
解得a1=1，d=2，（3分）
∴an=2n-1．
∵==（ - ），
∴Tn=（1-+-+…+- ）=．（5分）
（2）①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8•（-1）n恒成立，即需不等式λ＜=2n++17恒成立．（6分）∵2n+≥8，等号在n=2时取得．
∴此时λ需满足λ＜25．（7分）
②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8•（-1）n恒成立，即需不等式λ＜=2n--15恒成立．（8分）
∵2n-是随n的增大而增大，
∴n=1时，2n-取得最小值-6．
∴此时λ需满足λ＜-21．（9分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21．（10分）
（3）T1=，Tm=，Tn=，
若T1，Tm，Tn成等比数列，则（）2= （），
即 =．（11分）
由=，可得 =＞0，
即-2m2+4m+1＞0，（12分）
∴1-＜m＜1+．（13分）
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12．
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列 {Tn}中的T1，Tm，Tn成等比数列．（14分）