Question

2008年奥运会的一套吉祥物有五个，分别命名：“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”，称“奥运福娃”．甲、乙两位小学生各有一套吉祥物，现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲将赢得乙一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃．现规定掷骰子的总次数达9次时，或在此前某学生已赢得所有福娃时游戏终止，记游戏终止时投掷骰子的总次数为ξ．
（1）求掷骰子的次数为7的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer

（1）首先可以分析得到甲赢或乙赢的概率均为 ，若第7次甲赢意味着“第七次甲赢，前6次赢5次，但根据规则，前5次中必输1次”．若乙赢同样．故可根据二项分布列出式子求解即可．
（2）可以设奇数出现的次数为m，偶数出现的次数为n．然后根据题意列出关系式，求出可能的m n的值又ξ=m+n，求出ξ的可能取值，然后分别求出概率即可得到ξ的分布列，再根据期望公式求得Eξ即可．
【解析】
（1）当ξ=7时，若甲赢意味着“第七次甲赢，前6次赢5次，
但根据规则，前5次中必输1次”，由规则，每次甲赢或乙赢的概率均为 ，
因此P（ξ=7）=2 （ ）•（ ）4••=．
（2）设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为m，
向上的点数是偶数出现的次数为n，
则由 ，可得：
当m=5，n=0或m=0，n=5时，ξ=5；
当m=6n=1或m=1，n=6时，ξ=7
当m=7，n=2或m=2，n=7时，ξ=9．
因此ξ的可能取值是5、7、9
每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同，其概率都是 =．
P（ξ=5）=2×（ ）5=，P（ξ=7）=，P（ξ=9）=1--=
所以ξ的分布列是：
ξ 5 7 9
P

故Eξ=5×+7×+9×=．