Question

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
（Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X及甲组同学数学成绩的方差；
（Ⅱ）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率．（注：方差[++…+]，其中为x₁，x₂，…，x_n的平均数）

Answer

（I）先求出乙组同学的平均成绩，再求出甲组同学的平均成绩，可得X的值，利用方差公式可得甲组同学数学成绩的方差；
（Ⅱ）确定所有的事件构成的基本事件空间，这两名同学的数学成绩之和大于180包含的基本事件的空间，即可求出概率．
【解析】
（I）乙组同学的平均成绩为=90，甲组同学的平均成绩为90，
所以，所以X=90…（2分）
甲组同学数学成绩的方差为=…（6分）
（II）设甲组成绩为86，87，91，94的同学分别为a1，a2，a3，a4，乙组成绩为87，90，90，93的同学分别为b1，b2，b3，b4，则所有的事件构成的基本事件空间为：
{（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），（a4，b4），（a4，b1），（a4，b2），（a4，b3），（a4，b4）}共16个基本事件．
设事件A=“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件A包含的基本事件的空间为{（a3，b2），（a3，b3），（a4，b4），（a4，b1），（a4，b2），（a4，b3），（a4，b4）}共7个基本事件，
∴P（A）=…．（13分）