Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AC⊥BC，AC=BC=BB₁，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（2）求二面角B₁-AD-B的正弦值；
（3）判断在线段B₁B上是否存在一点M，使得A₁M⊥B₁D？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）以C为坐标原点，建立如图所示的坐标系，求出面AB1D的法向量，证明=0，即可得到结论；
（2）确定平面AB1D的法向量、平面ABD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论；
（3）设出M的坐标，利用则，可得结论．
（1）证明：以C为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
设AC=BC=BB1=2，则A1（2，0，2），C（0，0，0），D（0，1，0），A（2，0，0），B1（0，2，2），B（0，2，0）
∴，，
设平面AB1D的法向量为=（x，y，z），则由，可得，故可取=（1，2，-1）
∵=0，∴A1C∥平面AB1D；
（2）【解析】
由（1）知平面AB1D的法向量为=（1，2，-1），平面ABD的法向量为=（0，0，2）
∴二面角B1-AD-B的余弦值为||=||
∴二面角B1-AD-B的正弦值为；
（3）【解析】
设M（0，2，t），则=（-2，2，t-2），=（0，-1，-2）
若A1M⊥B1D，则，∴-2-2（t-2）=0，∴t=1
∴=时，A1M⊥B1D．