Question

设偶函数f（x）=log_a|x-b|在（-∞，0）上是增函数，则有（ ）
A．f（a+1）≥f（b+2）
B．f（a+1）＜f（b+2）
C．f（a+1）≤f（b+2）
D．f（a+1）＞f（b+2）

Answer

由已知中偶函数f（x）=loga|x-b|在（-∞，0）上是增函数，根据偶函数的定义及复合函数单调性“同增异减”的原则，我们可以求出b值及a的范围，进而根据函数的单调性，得到答案．
【解析】
∵函数f（x）=loga|x-b|为偶函数
∴f（-x）=f（x）
即loga|-x-b|=loga|x-b|
则|-x-b|=|x-b|
故b=0
则f（x）=loga|x|
u=|x|在区间（-∞，0）上为减函数，在区间（0，+∞）上为增函数，
而函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，
根据复合函数“同增异减”的原则，则函数y=logau为减函数
则0＜a＜1
则函数f（x）=loga|x-b|在0，+∞）上是减函数，
则1＜a+1＜2=b+2
故f（a+1）＞f（b+2）
故选D