Question

设a，b是实数，函数是R上的奇函数．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）试判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并请你用函数的单调性给予证明；
（Ⅲ）不等式f（m-2）+f（2^x+1+4^x）＜0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由奇函数性质得，f（0）=0，f（-1）=-f（1），由此得关于a，b的方程组，解出a，b即可，注意检验；
（Ⅱ）定义法：由（Ⅰ）知f（x）=，设x1＜x2，利用作差f（x1）-f（x2）可证f（x1）＞f（x2），由单调性定义可得结论；
（Ⅲ）利用函数f（x）的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符合“f”，进而转化为函数的最值问题即可解决；
【解析】
（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，
所以f（0）=0，f（-1）=-f（1），即-a=0①，=-（-a）②，
联立①②解得，经检验，符合题意，
所以实数a=，b=1；
（Ⅱ）f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，证明如下：
由（Ⅰ）知f（x）=，
设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（）-（）=，
因为x1＜x2，所以＞0，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
（Ⅲ）因为f（x）为奇函数，所以f（m-2）+f（2x+1+4x）＜0可化为f（2x+1+4x）＜-f（m-2）=f（2-m），
又f（x）单调递减，所以2x+1+4x＞2-m，
由题意，只需（2x+1+4x）min＞2-m，
而2x+1+4x=（2x+1）2-1＞0，
所以2-m≤0，即m≥2，
实数m的范围为m≥2．