Question

已知函数f（log₄x）=log₄（x+1）+klog₄x（k∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）为偶函数，求实数k的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数在（0，+∞）上存在零点，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）令t=log4x，则有x=4t，f（t）=+kt，由此可得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）若f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），化简可得-=2kx，即（ 2k+1）x=0，由此求得 k的值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，f（x）=-x，由题意可得log4m=-2x=．令=t，则 1＞t＞0，且log4m=．由二次函数的性质可得 0＜t2+t＜2，由此可得实数m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）令t=log4x，则有x=4t，f（t）=+kt，故函数f（x）的解析式为 f（x）=+kx．
（Ⅱ）若f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x） -kx=+kx，化简可得-=2kx，
即（ 2k+1）x=0，∴k=-．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，f（x）=-x，
函数=log4m-+2x 在（0，+∞）上存在零点，
故有 log4m=-2x==．
令=t，则 1＞t＞0，log4m=．
由二次函数的性质可得 0＜t2+t＜2，
∴0＜m＜2，故实数m的取值范围为（0，2）．