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已知a>0,过M(a,0)任作一条直线交抛物线y2=2px(p>0)于P,Q两点...

已知a>0,过M(a,0)任作一条直线交抛物线y2=2px(p>0)于P,Q两点,若manfen5.com 满分网为定值,则a=( )
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B.2p
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D.p
利用直线的参数方程来求,先设直线PQ的参数方程,用参数表示P,Q两点的坐标,求MP,MQ的长度,再代入,如为定值,则化简后与参数α无关,就可求出a的值. 【解析】 设直线PQ的参数方程为x=a+tcosα,y=tsinα 则P,Q点的坐标分别为:(a+t1cosα,t1sinα),(a+t2cosα,t2sinα), ∴|MP|2=(a+t1cosα-a)2+(t1sinα)2=t12cos2α+t12sin2α=t12 |MQ|2=(a+t2cosα-a)2+(t2sinα)2=t22cos2α+t22sin2α=t22 又∵P,Q在抛物线y2=2px, ∴(t1sinα)2=2p(a+t1cosα) (t2sinα)2=2p(a+t2cosα) ∴sin2αt12-2pcosαt1-2pa=0 sin2αt22-2pcosαt2-2pa=0 ∴t1,t2是方程sin2αt2-2pcosαt-2pa=0的两根, ∴t1+t2=,t1•t2=- t12+t22=(t1+t2)2-2t1t2= ∵== ==为定植,∴a=p 故选D
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