Question

在△ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a，b，c，∠BAC=θ，b²+c²=32，a=4．
（1）求b•c的最大值及θ的取值范围；
（2）求函数的最值．

Answer

（1）利用余弦定理列出关系式，表示出bc，利用基本不等式求出bc的最大值，以及此时cosθ的最小值，即可求出θ的范围；
（2）f（θ）解析式利用第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，根据正弦函数的值域即可求出f（θ）的最值．
【解析】
（1）∵∠BAC=θ，b2+c2=32，a=4，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosθ，即16=32-2bccosθ，整理得：bc=，
∵32=b2+c2≥2bc，
∴bc≤16，即bc的最大值为16，此时cosθ=，
∴-+2kπ≤θ≤2kπ+；
（2）f（θ）=sin2θ+2cos2θ=sin2θ+cos2θ+1=2sin（2θ+）+1，
∵-1≤sin（2θ+）≤1，
∴-1≤2sin（2θ+）+1≤3，
则f（θ）的最大值为3，最小值为-1．