Question

动圆C与定圆C₁：（x+3）²+y²=32内切，与定圆C₂：（x-3）²+y²=8外切，A点坐标为（0，）．
（1）求动圆C的圆心C的轨迹方程和离心率；
（2）若轨迹C上的两点P，Q满足，求|PQ|的值．

Answer

（1）根据两圆的位置关系，算出点C到C1、C2的距离之和等于6，再由椭圆的定义可得C点的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，结合题中数据即可得到所求轨迹方程；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），根据解出x1=5x2且y1=5y2-18，根据PQ都在椭圆C上，联解得出y2=3，代入前面式子可得y1=-3，且x1=x2=0，由此得出P、Q的坐标，从而得到|PQ|的值．
【解析】
（1）如图，设动圆C的半径为R，
则，…①
，…②
①+②得，，
由椭圆的定义，C点的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为的椭圆，
可得轨迹方程为，离心率为．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则．
∵，∴，
可得，…③
由P，Q是椭圆C上的两点，
得，解出y2=3
将y2=3代入③，得y1=-3，再将y2=3代入④，得x2=0，所以x1=0，
∴P（0，-3），Q（0，3），可得|PQ|=6．