Question

已知，设．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数g（x）和函数f（x）的图象关于原点对称，
（ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（ⅱ）若函数h（x）=g（x）-λf（x）+1在区间上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer

（I）利用向量数量积的坐标表示整理可得f（x）=sin2x+2sinx；
（II）（i）设函数y=f（x）的图象上任一点M（x，y）关于原点对称点N，然后将点M代入解析式即可．
（ii）先求出函数h（x）的解析式，然后设sinx=t，从而可知ϕ（t）=-（1+λ）t2+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1），再由λ＜-1时和当λ＞-1时求出范围即可．
【解析】
（Ⅰ）=2+sinx-cos2x-1+sinx=sin2x+2sinx…（4分）
（Ⅱ）设函数y=f（x）的图象上任一点M（x，y）关于原点的对称点为N（x，y）
则x=-x，y=-y，…．（5分）
∵点M在函数y=f（x）的图象上∴-y=sin2（-x）+2sin（-x），即∴y=-sin2x+2sinx
∴函数g（x）的解析式为g（x）=-sin2x+2sinx     …（7分）
（Ⅲ）h（x）=-（1+λ）sin2x+2（1-λ）sinx+1，
设sinx=t，（-1≤t≤1）…（9分）
则有ϕ（t）=-（1+λ）t2+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1）
当λ=-1时，ϕ（t）=4t+1在[-1，1]上是增函数，∴λ=-1  …（11分）
当λ≠-1时，对称轴方程为直线．
ⅰ） λ＜-1时，，解得λ＜-1
ⅱ）当λ＞-1时，，解得-1＜λ≤0
综上：λ≤0．∴实数λ的取值范围为（-∞，0]…（14分）