Question

我们在下面的表格内填写数值，先将第1行的所有空格填上1，再把一个首项为1，公比为q的等比数列{a_n}依次填入第一列的空格内，然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q^2
…	…
第n行	q^n-1

（Ⅰ）设第2行的数依次为b₁，b₂，b₃，…，b_n，试用n、q表示b₁+b₂+b₃+…+b_n的值；
（Ⅱ）设第3列的数依次为c₁，c₂，c₃，…，c_n，求证：对于任意非零实数q，总有c_m-1+c_m+1＞2c_m成立（其中2≤m≤n-1且m为偶数）；
（Ⅲ）能否找到一个实数q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？请说明理由．

Answer

（1）根据“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则，写出b1、b2、b3的表达式，从而归纳出bn=（n-1）+q，利用等差数列前n项和公式即可算出用n、q表示b1+b2+b3+…+bn的式子；
（2）由题意，根据c1、c2、c3的表达式，归纳出cn用n、q表示的式子．将cm-1+cm+1与2cm作差，化简整理得  cm-1+cm+1-2cm=qm＞0，从而得到对于任意非零实数q，总有cm-1+cm+1＞2cm成立；
（3）若第k+1列的前三项成等比数列，则由等比中项的定义列式可解出，同理当第m+1列的前三项成等比数列时，有成立．由k≠m可得以上两个式子不能同时成立，因此无论怎样的q都不能同时找出除1列外的其他两列，使它们的前三项都成等比数列．
【解析】
（Ⅰ）∵b1=q，b2=1+q，b3=1+（1+q）=2+q，…，bn=（n-1）+q
∴b1+b2+…+bn=1+2+…+（n-1）+nq=…（3分）
（Ⅱ）c1=1，c2=1+（1+q）=2+q，c3=（2+q）+（1+q+q2）=3+2q+q2，…，
cn=n+（n-1）q+（ n-2）q2+…+2qn-2+qn-1．
∵cm-1+cm+1-2cm=[（m-1）+（m-2）q+（m-3）q2+…+2qm-3+qm-2]+
[（m+1）+mq+（m-1）q2+…+2qm-1+qm]-2[m+（m-1）q+（m-2）q2+…+2qm-2+qm-1]=qm
∴结合q为非零实数且m为偶数，可得qm＞0，从而得到cm-1+cm+1＞2cm         …（6分）
（Ⅲ）设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，1≤k＜m≤n-1，
则x1=1，x2=k+q，x3=（1+2+…+k）+kq+q2=+kq+q2
若第k+1列的前三项x1，x2，x3是等比数列，则x1x3=x22
∴即，解得
同理，若第m+1列的前三项y1，y2，y3是等比数列，则
∵当k≠m时，
∴无论怎样的q，都不能同时找出除1列外的其他两列，使它们的前三项都成等比数列  …（10分）