Question

已知圆C的方程为x²+y²-6x+4y-3=0，直线l与直线3x+4y-19=0关于点A（-1，2）对称．
（Ⅰ）求圆C的圆心坐标和半径；
（Ⅱ）求直线l的方程；
（Ⅲ）求直线l被圆C所截的弦长．

Answer

（Ⅰ）化圆的一般式方程为标准式，则圆C的圆心坐标和半径可求；
（Ⅱ）设直线l上任意一点P（x，y），求出P点关于A的对称点，代入直线3x+4y-19=0后整理即可得到答案；
（Ⅲ）由点到直线的距离公式求出弦心距，利用勾股定理求弦长．
【解析】
（Ⅰ）由圆的方程x2+y2-6x+4y-3=0可得
（x-3）2+（y+2）2=16．
所以圆心坐标为（3，-2），半径为4．
（Ⅱ）设直线l上任意一点P（x，y），则P关于A（-1，2）的对称点Q（-2-x，4-y）
由点Q在已知直线上，代入直线方程得3（-2-x）+4（4-y）-19=0，
整理得3x+4y+9=0．
故所求直线方程为3x+4y+9=0．
（Ⅲ）圆心到直线l的距离，
则弦长为2．
故直线l交圆C所得的弦长为．