Question

已知双曲线的右准线l₂与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．
（Ⅰ）求证：PF⊥l；
（Ⅱ）若，且双曲线的离心率，求该双曲线的方程；
（Ⅲ）若过点A（2，1）的直线与（Ⅱ）中的双曲线交于两点P₁，P₂，求线段P₁P₂的中点M的轨迹方程．

Answer

（Ⅰ）由双曲线方程求出双曲线的右准线方程和一条渐近线方程，联立求出P点的坐标，求出PF所在直线的斜率，由斜率制剂等于-1证明PF⊥l；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的证明可知，|PF|为F（c，0）到l：bx-ay=0距离，由点到直线的距离公式列一个关于a，b，c的关系式，再由离心率得一关系式，结合a2+b2=c2求解a，b的值，则双曲线的方程可求；
（Ⅲ）分斜率存在和不存在得到过点A的直线方程，斜率存在时把直线方程和双曲线方程联立，利用根与系数关系得到M点的参数方程，消参后即可得到答案，然后验证斜率不存在时的情况．
（Ⅰ）证明：右准线为，由对称性，不妨设渐近线l为，则．
又F（c，0），∴．
又∵，∴，∴PF⊥l；
（Ⅱ）【解析】
∵|PF|为F（c，0）到l：bx-ay=0距离，∴，即b=．
又，∴，解得a2=1．
故双曲线方程为；
（Ⅲ）【解析】
设M（x，y），
当过点A的直线斜率存在时，设直线方程为y-1=k（x-2），
由，
可得（2-k2）x2-2k（1-2k）x-（1-2k）2-2=0．
当（2-k2）≠0，△=（1-2k）24k2+4（2-k2）[（1-2k）2+2]＞0时，
设P1（x1，y1），P2（x2，y2），∴（1）（2）
当时，此时M（0，0）．
当时，显然y≠0．此时（1）÷（2）得，将其代入（2），
得．∵y≠0，∴有2x2-y2-4x+y=0．显然（0，0）也满足此方程．
当直线的斜率不存在时，此时直线方程为x=2，则P1P2中点为（2，0）符合上式．
综上可知，M点的轨迹方程为2x2-y2-4x+y=0．