Question

过抛物线y²=4x的焦点F作弦AB，若，则弦AB所在直线的方程是    _．

Answer

设出直线方程，把直线方程和抛物线方程联立后得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积，由 ，代入坐标整理后得到直线的斜率与截距间的关系，由两个向量的模相等，结合抛物线定义可求出两个交点横坐标的具体值，代入两根和的关系式得到直线的斜率与截距的另一关系式，解方程组可求解k的值．
【解析】
设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），与抛物线y2=4x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立 ，得k2x2+（2km-4）x+m2=0．
所以△=（2km-4）2-4k2m2=16-16km＞0，即km＜1．
x1+x2=，x1x2=．
由y2=4x得其焦点F（1，0）．
由 ，得（1-x1，-y1）=2（x2-1，y2）．
所以 ，
由①得，x1+2x2=3 ③
由②得，x1+2x2=-．
所以m=-k．
再由 ，得||=2||，
所以x1+1=2（x2+1），即x1-2x2=1④
联立③④得x1=2，x2=．
所以x1+x2==．
把m=-k代入得 =，解得|k|=2 ，满足mk=-8＜1．
所以k=±2．
则弦AB所在直线的方程是 ．
故答案为：．