Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC．
（1）求证：OD∥平面PAB；
（2）求直线OD与平面PBC所成角的正弦值．

Answer

（1）根据三角形中位线定理可得OD∥PA，再由线面平行的判定定理得到OD∥平面PAB；
（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量和直线OD的方向向量，代入向量夹角公式，可得直线OD与平面PBC所成角的正弦值
证明：（1）∵点O，D分别是AC，PC的中点，
∴OD∥PA
又∵OD⊄平面PAB，PA⊂平面PAB
∴OD∥平面PAB；
（2）连接OB，
∵AB=BC，点O是AC的中点，
∴OB⊥AC
又∵OP⊥底面ABC．
故可以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
令AB=BC=PA=1，AB⊥BC，
则OA=OB=OC=，OP=
则O（0，0，0），B（，0，0），C（0，，0），P（0，0，），D（0，，）
∴=（0，，），=（-，，0），=（0，，-）
设=（x，y，z）是平面PBC的一个法向量
则，即
令z=1，则=（，，1）
直线OD与平面PBC所成角θ满足：
sinθ==
故直线OD与平面PBC所成角的正弦值为