Question

已知函数
（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer

（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；
（II）先求出导函数f'（x），讨论k=0，0＜k＜1，k=1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．
【解析】
（I）当K=2时，
由于所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
．即3x-2y+2ln2-3=0
（II）f'（x）=
当k=0时，
因此在区间（-1，0）上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0；
所以f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）；
当0＜k＜1时，，得；
因此，在区间（-1，0）和上，f'（x）＞0；在区间上，f'（x）＜0；
即函数f（x）的单调递增区间为（-1，0）和，单调递减区间为（0，）；
当k=1时，．f（x）的递增区间为（-1，+∞）
当k＞1时，由，得；
因此，在区间和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0；
即函数f（x）的单调递增区间为和（0，+∞），单调递减区间为．