Question

已知椭圆（a＞b＞0）和双曲线（m＞0，n＞0）有公共的焦点F₁，F₂，P是两曲线的一个交点．求证：
（1）
（2）S_△F1PF2=bn
（3）．

Answer

（1）先根据点P为椭圆和双曲线的一个交点结合定义求出|PF1|与|PF2|的表达式，代入即可求出|PF1|•|PF2|的值．
（2）利用（1）中得出的结论，结合三角形面积公式即可证得．
（3）利用三角函数中正切的半角公式，结合前面得出的结论，即可证得．
【解析】
（1）不妨设P在双曲线的右支上，左、右焦点F1、F2．利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a   ①
|PF1|-|PF2|=2m    ②
由①②得：|PF1|=a+m，|PF2|=a-m．
∴|PF1|•|PF2|=a2-m2．
（2）如图所示，因为椭圆（a＞b＞0）和双曲线（m＞0，n＞0）有公共的焦点F1、F2，
所以有：a2-b2=m2+n2，
不妨设两曲线的交点P位于双曲线的右支上，设|PF1|=p，|PF2|=q．
由双曲线和椭圆的定义可得 p+q=2a，p-q=2m，
解得 p2+q2=2（a2+m2），pq=a2-m2，
在△PF1F2中，cos∠F1PF2==．
∴S△F1PF2=pqsin∠F1PF2=×（a2-m2）×=bn．
（3）====．