Question

已知函数f（x）=lnx-a（x-1），（a＞0）
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）是单调减函数，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当n∈N⁺时，证明：（1+）（1++）（1+）…（1+）＜e．其中（e≈2.718…即自然对数的底数）

Answer

（1）求f（x）的导数，得，再讨论导数的正负，可得f（x）的单调增区间为，f（x）的单调减区间为；
（2）根据函数单调性与导数之间的关系，可得在区间（1，+∞）上恒成立，结合x＞1加以讨论可得实数a的取值范围为[1，+∞）；
（3）由（2）知：当a=1时f（x）在（1，+∞）上单调递减，可得在（1，+∞）上成立，由此令x=1+得ln（1+）＜，分别取n=1，2，3，…，n将得到的式子相加，再结合对数的运算法则即可证出（1+）（1++）（1+）…（1+）＜e，对任意的n∈N*成立．
【解析】
（1）f（x）定义域为（0，+∞）…（1分）
求导数，得…（2分）
令
当时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0…（3分）
∴f（x）的单调增区间为，f（x）的单调减区间为，…（4分）
因此，f（x）的极大值为，无极小值…（5分）
（2）∵函数f（x）在（1，+∞）是单调减函数，
∴在区间（1，+∞）上恒成立．（7分）
∵x＞1，可得
∴a≥1，即实数a的取值范围为[1，+∞）…（9分）
（3）由（2）得当a=1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减，
，可得…（10分）
令x=1+，可得ln（1+）＜…（11分）
分别取n=1，2，3，…，n得
ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜+++…+=1-＜1…（13分）
即ln[（1+）（1+）（1+）…（1+）]＜lne
可得（1+）（1++）（1+）…（1+）＜e，对任意的n∈N*成立．