(I)先求导函数,然后根据x=2是f(x)的一个极值点建立等式关系,求出b,然后解不等式f′(x)>0即可求出函数的单调增区间;
(II)先利用导数求出函数f(x)在区间[1,3]上的最小值,若当x∈[1,3]时,要使恒成立,只需,即可求出a的范围.
【解析】
(Ⅰ)f′(x)=x2-2bx+2.--------------------------------------------------------------(1分)
∵x=2是f(x)的一个极值点,
∴x=2是方程x2-2bx+2=0的一个根,解得.---------------------------(3分)
令f′(x)>0,则x2-3x+2>0,解得x<1或x>2.---------------------------(5分)
∴函数y=f(x)的单调递增区间为(-∞,1),(2,+∞).--------------------------(6分)
(Ⅱ)∵当x∈(1,2)时f′(x)<0,x∈(2,3)时f′(x)>0,
∴f(x)在(1,2)上单调递减,f(x)在(2,3)上单调递增.--------(8分)
∴f(2)是f(x)在区间[1,3]上的最小值,且 .--------------(10分)
若当x∈[1,3]时,要使恒成立,只需,----(12分)
即,解得 0<a<1.----------------------------------------------------(13分)