Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0），F为焦点，设抛物线C上一点到焦点的距离为1，l为准线，l与y轴的交点为H．
（I）求抛物线C方程；
（Ⅱ）设M是抛物线C上一点，E（0，4），延长ME，MF分别交抛物线C于点A，B两点．若A，B，H三点共线，求点M的坐标．

Answer

（I）由抛物线的定义，结合P到焦点的距离为1建立关于p的方程，解出p=即得抛物线C方程；
（II）设M（λ，λ2），由抛物线的性质解出B（-，）．求出H（0，-），从而算出HB的方程，与抛物线联解得出A（-λ，λ2），再由M、E、A三点共线求出λ的值，即可得到点M的坐标．
【解析】
（I）∵抛物线C的焦点为（0，）
∴到焦点的距离为1，即+=1，解之得p=
因此抛物线方程为x2=y；
（II）设M（λ，λ2），B（μ，μ2）
根据抛物线的性质，可得λμ=-p2=，得μ=-
∴B（-，），
结合点H（0，-），得到直线HB的方程为y=-x-
联解直线HB与抛物线x2=y方程，可得A（-λ，λ2）
∵M（λ，λ2）、E（0，4）、A（-λ，λ2）三点共线，
∴λ2=4，解之得λ=±2，
由此可得M（-2，4）或（2，4）．