Question

已知y_n=2log_ax_n（a＞0且a≠1，n∈N^*），已知y₄=17，y₇=11．
（1）求证：数列{y_n}是等差数列；
（2）数列{y_n}的通项公式；
（3）数列{y_n}的前多少项的和为最大？最大值为多少？

Answer

（1）要证明数列{yn}为等差数列，只要证明yn+1-yn为常数（n≥1）．
（2）由y4=17，y7=11，结合等差数列的通项公式可求y1，d，进而可求
（3）令可得n的范围，结合n∈N*可求n，代入可求
（3）由（2）知，当n＞12时，yn＜0成立，由yn，可求xn．结合已知范围可求a的范围
当a＞1，且n＞12时，有xn=a＜a=1．
这与题意不符，故0＜a＜1．
由0＜a＜1，且n＞12，有xn=a≥a＞2．
故所求a的取值范围为0＜a＜．
（1）证明：∵yn+1-yn=2loga（）n+1-2loga（）n=2loga（）常数（n≥1）．
∴数列{yn}为等差数列．
（2）设数列{yn}的公差为d，由y4=17，y7=11．
得
解得y1=23，d=-2，
∴yn=25-2n．
即数列{yn}的通项为yn=25-2n（n≥1）．
（3）【解析】
令
得
∵n∈N*．
∴n=12．
∴{yn}的前12项之和最大，最大值为S12=144．
（3）由（2）知，当n＞12时，yn＜0成立．
∵yn=2logaxn，
∴xn=a．
当a＞1，且n＞12时，有xn=a＜a=1．
这与题意不符，故0＜a＜1．
由0＜a＜1，且n＞12，有xn=a≥a＞2．
故所求a的取值范围为0＜a＜．