Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，求k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer

（1）设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点，实轴长，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程．
（2）将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根的判别式大于0即可求得k的取值范围，从而解决问题．
（3）由（2）结合根系数的关系利用向量的数量积的坐标公式，建立关于k的不等式，即可k的取值范围．
【解析】
（1）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），
由已知得a=，c=2，
再由a2+b2=c2，∴b2=1．
∴双曲线方程为
（2）将y=kx+代入．
得（1-3k2）x2-6kx-9=0．
由题意知即k2≠，且k2=1．①
∴k的取值范围为（-1，∪（-，∪（．
（3）设A（xA，yA），B（xB，yB）．
由（2）得xA+xB=，xA•xB=．
由，得xA•xB+yA•yB＞2，
而xA•xB+yA•yB=xA•xB+（kxA+（kxB+
=（k2+1）xA•xB+k（xA+xB）+2
=（k2+1）•．
于是，
∴．②
由①②得．
故k的取值范围为（-1，-．