Question

已知点P是抛物线y²=2x上的动点，过点P作y轴垂线PM，垂足为M，点A的坐标是，则|PA|+|PM|的最小值是（ ）
A．
B．4
C．
D．5

Answer

根据抛物线方程得到抛物线焦点为F（，0），并且作出它的准线：x=-，延长PM交准线于点N，连接PF、AF，根据抛物线的定义可得得：|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-=|PA|+|PF|-．再由三角形两边之和大于第三边可得：P点满足|PA|+|PF|≥
|AF|，当且仅当点P落在线段AF上时，|PA|+|PF|=|AF|为最小值，最后根据两点的距离公式得到|PA|+|PF|的最小值为5，同时|PA|+|PM|取到最小值5-=．
【解析】
∵抛物线方程为y2=2x
∴抛物线的焦点为F（，0），准线为x=-
延长PM交准线于点N，连接PF、AF，根据抛物线的定义得：|PF|=|PN|
∴|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-=|PA|+|PF|-
当P点不在AF上时，有|PA|+|PF|＞|AF|；
当P点刚好落在AF上时，有|PA|+|PF|=|AF|
∴P点满足|PA|+|PF|≥|AF|，
当且仅当点P落在线段AF上时，|PA|+|PF|=|AF|为最小值，
所以|PA|+|PF|的最小值为=5，
同时|PA|+|PM|的最小值是|PA|+|PN|-=|PA|+|PF|-=
故选C