Question

设{a_n}是正数组成的数列，前n项和为S_n且；
（Ⅰ）写出数列{a_n}的前三项；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式，并写出推证过程；
（Ⅲ）令，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）把n=1，2，3分别代入递推公式中可求
（II）由已知可得8Sn=an2+4an+4，8Sn+1=an+12+4an+1+4，两式相减结合an+1+an＞0可得an+1-an=4，利用等差数列的通项公式可求
（ III）由（II）可得，利用裂项求和
【解析】
（Ⅰ）∵
n=1时可得，∴a1=2
把n=2代入可得a2=6，n=3代入可得a3=10；
（Ⅱ）8Sn=an2+4an+4…（1）
8Sn+1=an+12+4an+1+4…（2）
（2）-（1）得8an+1=an+12-an2+4an+1-4an
（an+1+an）（an+1-an-4）=0
∵an+1+an＞0
∴an+1-an-4=0
an+1-an=4
∴{an}是以2为首项，4为公差的等差数列．an=a1+（n-1）d=4n-2
（ III）
∴Tn=b1+b2+…+bn
=
=．