Question

已知定义在R上的函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
（Ⅲ）若x₁，x₂∈[-1，1]时，求证：|f （x₁）-f （x₂）|≤．

Answer

（Ⅰ）利用图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值，建立方程，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求导数，利用导数的几何意义进行判断；
（Ⅲ）利用导数的应用求函数在[-1，1]上的最大值和最小值即可．
【解析】
（Ⅰ）∵函数f（x）的图象关于原点对称，
∴f（0）=0，即4d=0，∴d=0
又f（-1）=-f（1），
即-a-2b-c=-a+2b-c，
∴b=0
∴f（x）=ax3+cx，f′（x）=3ax2+c．
∵x=1时，f（x）取极小值，
∴3a+c=0且 a+c=．
解得a=，c=．
∴f（x）=…4
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．
假设图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得过此两点处的切线互相垂直，
则由f′（x）=（x2-1）知两点处的切线斜率分别为k1=，k2=，且=1             （*）
∵x1，x2∈[-1，1]，
∴-1≤0，-1≤0
∴（-1）（-1）≥0 此与（*）矛盾，故假设不成立  …（8分）（文12分）
（Ⅲ）证明：f′（x）=（x2-1），令f′（x）=0，得x=±1
∴x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（-1，1）时，f′（x）＜0
∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且fmax（x）=f（-1）=，fmin（x）=f（1）=．
∴在[-1，1]上|f（x）|≤，于是x1，x2∈[-1，1]时，
|f（x1）-f（x2）|≤|f（x1）|+|f（x2）|≤…（12分）