Question

如图，在三棱锥P-ABC种，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（1）求证：PC⊥AB
（2）设点E为棱PA的中点，证明∠CEB为二面角B-AP-C的平面角，并求其正弦值．

Answer

（1）利用SSS可证得△APC≌△BPC，则由PC⊥AC，可得PC⊥BC，再由线面垂直的判定定理得到PC⊥平面ABC，最后由线面垂直的性质（定义）得到PC⊥AB
（2）结合（1）中结论及∠ACB=90°，由线面垂直的判定定理得到BC⊥平面PAC，进而BC⊥AP，连结BE，CE，根据等腰三角形“三线合一”得到BE⊥AP，证得PA⊥平面BEC，进而EC⊥AP．可得∠BEC是二面角B-AP-C的平面角，解Rt△BCE可得答案．
证明：（1）∵AC=BC，AP=BP，PC=PC
∴△APC≌△BPC，
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC
又∵AC∩BC=C，AC，BC⊂平面ABC，
∴PC⊥平面ABC，
又∵AB⊂平面ABC，
∴PC⊥AB．---（4分）
（也可连接点P与AB中点D，通过证明AB⊥平面PCD而得到）
（2）由PC⊥BC，BC⊥AC，PC∩AC=C，PC，AC⊂平面PAC
可得BC⊥平面PAC．
又∵AP⊂平面PAC
∴BC⊥AP，
连结BE，CE，
∵BP=AB，点E为棱PA的中点，
∴BE⊥AP．
又∵BC∩BE=B，BC，BE⊂平面BEC
∴PA⊥平面BEC，
∵EC⊂平面BEC，
∴EC⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．---（3分）
在Rt△BCE中，BC=2，BE=AB=
∴sin∠BEC==--（3分）