Question

已知函数f（x）=，直线l：9x+2y+c=0．
（1）求证：直线l与函数y=f（x）的图象不相切；
（2）若当x∈[-2，2]时，函数f（x）的图象在直线l的下方，求c的范围．

Answer

（1）先求导数得f′（x）=x2-2x-3=（x-1）2-4≥-4，得出函数y=f（x）的图象上任意一点的切线的斜率均不小于-4
而直线l的斜率小于4，所以直线l与y=f（x）的图象不相切．
（2）先根据题意得到不等式 ，然后转化为 成立，即求在闭区间上的最小值问题；先对函数g（x）=求导判断单调性，即可求出最小值，进而得到答案．
证明：（1）f′（x）=x2-2x-3=（x-1）2-4≥-4
故函数y=f（x）的图象上任意一点的切线的斜率均不小于-4
而直线l：
所以直线l与y=f（x）的图象不相切．
（2）当x∈[-2，2]时，函数y=f（x）的图象在直线l的下方
即对一切x∈[-2，2]都成立对一切x∈[-2，2]都成立
令  
g′（x）=-2x2+4x-3=-2（x-1）2-1＜0
g（x）在∈[-2，2]上单调递减故当x∈[-2，2]时，[g（x）]min=g（2）=-6
因此c＜-6，即c的范围是（-∞，-6）