Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，AB=2a，E、F分别为A₁B₁、A₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证：DF∥平面ACE．

Answer

（Ⅰ）证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，由BC⊥侧面ABB1A1，可得AE⊥BC；再利用勾股定理证明AE⊥EB；由直线和平面垂直的判定定理 AE⊥平面BCE．（Ⅱ）连BD交AC于O，连OE，利用三角形中位线性质可得EF∥B1D1，且EF=B1D1；再由DO∥B1D1，且DO=B1D1，可得四边形DOEF是平行四边形，可得 DF∥OE．再利用直线和平面平行的判定定理可得DF∥平面ACE．
【解析】
（Ⅰ）证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥侧面ABB1A1，
∵AE⊂侧面ABB1A1，∴AE⊥BC．…（3分）
在△ABE中，AB=2a，AE=BE=a，∴AB2=AE2+BE2，∴AE⊥EB．…（6分）
又BC∩BE=B，∴AE⊥平面BCE．      …（7分）
（Ⅱ）证明：连EF、B1D1，连BD交AC于O，连OE，
∵E、F分别为A1B1、A1D1的中点，∴EF∥B1D1，且EF=B1D1，
∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DO∥B1D1，且DO=B1D1，
∴DO∥EF，且 DO=EF，∴四边形DOEF是平行四边形，…（10分）
∴DF∥OE．     …（11分）
又∵OE⊂平面ACE，DF不在平面ACE内，∴DF∥平面ACE．  …（13分）