Question

已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，sinx-2cosx），0．
（Ⅰ）若∥，求x；
（Ⅱ）设f（x）=，
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）函数f（x）经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数？

Answer

（I）利用向量共线定理及其倍角公式，三角函数的单调性即可得出；
（II）利用数量积、两角和差的正弦公式、单调性、图象的变换即可得出．
【解析】
（I）∵，∴sinx（sinx-2cosx）-cos2x=0，sin2x-2sinxcosx-cos2x=0，
∴-cos2x-sin2x=0，∴tan2x=-1．
又∵，∴0＜2x＜π，∴，
∴．
（II）f（x）==sinxcosx+cosx（sinx-2cosx）=sin2x-2cos2x
=sin2x-cos2x-1=，
（1）令，k∈Z，解得，，
又，∴，即（0，是f（x）的单调增区间．
（2）将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移个单位，即得函数g（x）=sin2x的图象，而g（x）为奇函数．