Question

设x=1和x=2是函数f（x）=x³+ax²+bx+1的两个极值点．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer

（Ⅰ）三次函数f（x）=x3+ax2+bx+1在x=1和x=2时取极值，说明方程f′（x）=0的两个根为1和2，求出a与b；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出f（x）的解析式，利用导数研究函数的单调性．
【解析】
（Ⅰ）∵三次函数f（x）=x3+ax2+bx+1在x=1和x=2时取极值，
∴f′（x）=3x2+2ax+b，
∴可得
解得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）=3x2+2ax+b=3（x-1）（x-2），
若f′（x）＞0即x＞2或x＜1，f（x）为增函数，
若f′（x）＜0即1＜x＜2，f（x）为减函数，
因此f（x）的单调增区间是（-∞，1），（2，+∞），f（x）的单调减区间是（1，2）．