Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）上一点P（x，1）到焦点F的距离为2，
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F的动直线l交抛物线于A、B两点，求弦AB中点Q的轨迹方程．

Answer

（1）由抛物线的准线：，知点P到准线的距离为，由此能求出抛物线方程．
（2）F（0，1），设AB方程为y=kx+1（k显然存在），由，由此能求出弦AB中点Q的轨迹方程．
【解析】
（1）抛物线的准线：，
∴点P到准线的距离为，
∴p=2，
∴抛物线方程为x2=4y．
（2）F（0，1），设AB方程为y=kx+1（k显然存在）
由，（△＞0恒成立）
设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），
则x1+x2=4k，
∵Q（x，y）是线段AB的中点，
∴，
∴k=，
∴，
整理，得x2-2y+2=0．
故弦AB中点Q的轨迹方程为：x2-2y+2=0．