Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=AC=1，AA₁=2，∠B₁A₁C₁=90°，D为BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）求异面直线C₁D与直线A₁C所成角的余弦值．

Answer

解法一：几何法
（I）根据直棱柱的几何特征，结合∠B1A1C1=90°，可证得A1C1⊥平面A1B1BA，进而AD⊥A1C1，由勾股定理可得A1D⊥AD，最后由线面垂直的判定定理得到AD⊥平面A1DC；
（Ⅱ）连结AC1交A1C于点E，取AD的中点F，连结EF，则EF∥C1D，∠CEF或它的补角就是异面直线C1D与直线A1C所成的角，解△CEF可得答案．
解法二：向量法
（I）以A为原点建立坐标系，求出，，的坐标后，根据向量垂直的充要条件，及线面垂直的判定定理可得AD⊥平面A1DC；
（Ⅱ）求出直线C1D与直线A1C的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．
解法一：几何法
证明：（Ⅰ）∵AA1⊥平面A1B1C1，
∴AA1⊥A1C1
又A1C1⊥A1B1，
∴A1C1⊥平面A1B1BA
∴AD⊥A1C1
∵AD=，A1D=，AA1=2，
由AD，
得A1D⊥AD
∵A1C1∩A1D=A1
∴AD⊥平面A1DC1…（7分）
【解析】
（Ⅱ）连结AC1交A1C于点E，取AD的中点F，连结EF，则EF∥C1D
∴∠CEF或它的补角就是异面直线C1D与直线A1C所成的角
由（Ⅰ）知，AD⊥A1C1，则AD⊥AC，
又AF=AD=
在△CEF中，CE=，EF=，CF=
cos∠CEF=
则异面直线C1D与直线A1C所成角的余弦值为…（14分）
解法二：以A为原点建立坐标系，如图，则A1（0，0，2），C（0，1，0），C1（0，1，2）
D（1，0，1）…（3分）
（Ⅰ）∵=（ 1，0，-1 ），=（ 1，0，1 ），=（ 0，1，0 ），
•=1+0-1=0，
∴A1D⊥AD …（5分）
又•=0，∴AD⊥A1C1
∵A1D∩A1C1=A1
∴AD⊥A1DC1…（8分）
（Ⅱ）=（1，-1，-1），=（0，1，-2）
=1
cos＜＞=
故直线C1D与直线A1C所成角的余弦值…（14分）