Question

已知定义在R上的函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R ）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象旧否存在两点，使得此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）根据“定义在R上的函数f（x）的图象关于原点对称“得出奇偶性，再判断b，d的值，再有在1处的极值求出a，c．
（Ⅱ）用反证法证明．对于存在性问题，可先假设存在，即假设x轴上存在满足条件的点C（x，0），再利用导数的几何意义，求出不等关系，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（Ⅰ）∵函数f（x）的图象关于原点对称，
∴f（0）=0，即4d=0，∴d=0
又f（-1）=-f（1），
即-a-2b-c=-a+2b-c，∴b=0
∴f（x）=ax3+cx，f′（x）=3ax2+c．
∵x=1时，f（x）取极小值，
∴3a+c=0且 a+c=．
解得a=，c=．
∴f（x）=
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．
假设图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得过此两点处的切线互相垂直，
则由f′（x）=（x2-1）知两点处的切线斜率分别为
k1=，k2=，且=1             （*）
∵x1，x2∈[-1，1]，
∴-1≤0，-1≤0
∴（-1）（-1）≥0 此与（*）矛盾，故假设不成立