Question

设函数f（x）=xe^x，求：
（I）曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）函数f（x）的单调递增区间．

Answer

（I）先求出f（0），再由求导公式和法则求出导数，再求出切线的斜率f′（0）的值，代入直线的点斜式方程化简；
（Ⅱ）由（I）求出f′（x），再求出f′（x）＞0的解集，即函数的单调递增区间．
【解析】
（I）由题意得，f（0）=0，则切点为（0，0），
又∵f′（x）=ex+xex=（1+x）ex，∴f′（0）=1，
故在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，
（Ⅱ）由（I）知，f′（x）=（1+x）ex，
由f′（x）＞0得，1+x＞0，即x＞-1，
∴函数f（x）单调递增区间是（-1，+∞）．