Question

已知f（x）=x³+bx²+cx+d在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，且f（x）=0有三个根α，2，β（α≤2≤β）．
（Ⅰ）求c的值，并求出b和d的取值范围；
（Ⅱ）求证f（1）≥2；
（Ⅲ）求|β-α|的取值范围，并写出当|β-α|取最小值时的f（x）的解析式．

Answer

（Ⅰ）①f（x）在（-∞，0]上是增函数，在（0，2]上是减函数；∴x=0是f'（x）=0的根，又∵f'（x）=3x2+2bx+c，∴f'（0）=0，∴c=0 ②∵f（x）=0的根为α，2，β，∴f（2）=0，∴8+4b+d=0，③∵f'（2）≤0，可求b，d范围
（Ⅱ）∵f（1）=1+b+d，f（2）=0∴d=-8-4b且b≤-3，∴f（1）=1+b-8-4b=-7-3b≥2
（Ⅲ）∵f（x）=0有三根α，2，β；∴f（x）=（x-α）（x-2）（x-β）=x3-（α+β+2）•x2-2αβ∴；∴|β-α|2=（α+β）2-4αβ=（b+2）2+2d=b2+4b+4-16-8b=b2-4b-12=（b-2）2-16又∵b≤-3，∴|β-α|≥3当且仅当b=-3时取最小值，此时d=4∴f（x）=x3-3x2+4•（14分）
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，在（0，2]上是减函数；∴x=0是f'（x）=0的根，又∵f'（x）=3x2+2bx+c，∴f'（0）=0，∴c=0．又∵f（x）=0的根为α，2，β，∴f（2）=0，∴8+4b+d=0，又∵f'（2）≤0，
∴12+4b≤0，∴b≤-3，又d=-8-4b
∴d≥4
（Ⅱ）∵f（1）=1+b+d，f（2）=0
∴d=-8-4b且b≤-3，
∴f（1）=1+b-8-4b=-7-3b≥2
（Ⅲ）∵f（x）=0有三根α，2，β；
∴f（x）=（x-α）（x-2）（x-β）
=x3-（α+β+2）•x2-2αβ
∴；（
∴|β-α|2=（α+β）2-4αβ
=（b+2）2+2d
=b2+4b+4-16-8b
=b2-4b-12
=（b-2）2-16
又∵b≤-3，∴|β-α|≥3
当且仅当b=-3时取最小值，此时d=4
∴f（x）=x3-3x2+4