Question

已知函数f（x）=-x²+（lga+2）x+lgb满足f（-1）=-5，且f（x）在区间（-∞，2]和区间[2，+∞）上分别单调．
（Ⅰ）求f（x）解析式；
（Ⅱ）若函数F（x）=求F（2）+F（-2）的值．

Answer

（Ⅰ）由f（-1）=-5，可得关于a，b的方程，然后由已知单调性可知，f（x）的对称轴为x=2，从而可求a，b
（Ⅱ）由（1）可求F（x），代入即可求解
【解析】
（Ⅰ）∵f（-1）=-5，
∴f（-1）=-1-lga-2+lgb=-5． ①（1分）
又∵f（x）在区间（-∞，2]和区间[2，+∞）上分别单调，
∴f（x）的对称轴为x=2，
即．②
由②得，a=100．  （2分）
把a=100代入①得b=1，f（x）=-x2+4x．（3分）
（Ⅱ）∵
∴F（2）=f（2）=4，（4分）F（-2）=-f（-2）=12，（5分）
∴F（2）+F（-2）=16．（6分）