Question

已知函数f（x）=lnx-+2．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若xlnx≤mx²-在x∈[，1]上恒成立，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求导函数，对参数a进行讨论，即可确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）先分离参数，构造函数，确定函数的最大值，即可求得m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）定义域{x|x＞0}．（1分）
当a＜0时，x∈（0，-a），f'（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（-a，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当a≥0时，x∈（0，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．（4分）
（Ⅱ）由，得．
令已知函数．（5分）．
∵当a=-1时，，
∴．（7分）
当x∈（0，1）时，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增．（8分）
f（x）≥f（1）=3，即，
∴，
∴g（x）在x∈（0，+∞）上，g'（x）≤0，g（x）单调递减，（9分）
在上，，若恒成立，则．（10分）