Question

等比数列{x_n}各项均为正值，y_n=2log_ax_n（a＞0且a≠1，n∈N^*），已知y₄=17，y₇=11．
（1）求证：数列{y_n}是等差数列；
（2）数列{y_n}的前多少项的和为最大？最大值为多少？
（3）当n＞12时，要使x_n＞2恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）只要证明yn+1-yn为常数即可
（2）由y4=17，y17=11，可求公差d，进而可求通项，然后由可求满足条件的n
（3）由（2）知，当n＞12时，yn＜0成立，结合已知可求xn，进而可求a的范围
证明：（1）设等比数列{xn}的公比为q，且q＞0．
∵yn=2logaxn，
∴yn+1-yn=2loga（）=2logaq．
∴{yn}为等差数列．
【解析】
（2）设{yn}的公差为d，由y4=17，y17=11，
可得==-2，y1=23，
∴yn=25-2n．
令可解得．
∵n∈N*．
∴n=12．
∴{yn}的前12项之和最大，最大值为S12=144．
（3）由（2）知，当n＞12时，yn＜0成立．
∵yn=2logaxn，
∴xn=
当a＞1，且n＞12时，有xn=＜a=1．
这与题意不符，故0＜a＜1．
由0＜a＜1，且n＞12，有xn=≥＞2．
故所求a的取值范围为0＜a＜．