Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，线段AB的垂直平分线l与y轴交于M（0，b），求b的取值范围．

Answer

（1）设双曲线的标准方程，进而可知a和c的值，进而求得b，双曲线方程可得．
（2）设A（xA，yA），B（xB，yB），把直线方程与双曲线方程联立消去y，根据判别式和韦达定理求得k的范围．
（3）根据（1）中的xA+xB求得yA+yB的表达式，则AB的中点P的坐标可得，设出直线l的方程，将P点坐标代入直线l的方程求得b和k的关系是，进而根据k的范围确定b的范围．
【解析】
（1）设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0）．
由已知得：a=，c=2，再由a2+b2=c2，∴b2=1，
∴双曲线方程为-y2=1．
（2）设A（xA，yA），B（xB，yB），
将y=kx+代入-y2=1，
得（1-3k2）x2-6kx-9=0．
由题意知解得＜k＜1．
∴当＜k＜1时，l与双曲线左支有两个交点．
（3）由（2）得：xA+xB=，
∴yA+yB=（kxA+）+（kxB+）
=k（xA+xB）+2=，
∴AB的中点P的坐标为（，）．
设直线l的方程为：y=-x+b，
将P点坐标代入直线l的方程，得b=．
∵＜k＜1，∴-2＜1-3k2＜0，
∴b＜-2．
∴b的取值范围为（-∞，-2）．