Question

设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数，[a，b]为函数f（x）的闭区间．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．
（1）写出f（x）=x³的一个闭区间；
（2）若f（x）=x³-k为闭函数求k取值范围？

Answer

（1）根据闭函数的定义，结合x3=x有三个解-1，0，1，可写出使函数f（x）=x3为闭函数的区间；
（2）根据闭函数的定义，结合f（x）=x3-k的单调性，可得f（x）=x3-k为闭函数时f（x）=x3-k=x至少有两个不等的根，进而可得k取值范围
【解析】
（1）[0，1]，[-1，1]，[-1，0]（不必加以说明写出即可）----（4分）
（2）∵f（x）=x3-k
∴f′（x）=x2，
∵f′（x）≥0恒成立
故f（x）=x3-k在定义域R上为增函数----（5分）
若f（x）=x3-k为闭函数
则f（x）=x3-k=x 有至少两个不同的解----（6分）
即k=x3-x有至少两个不同的解
令g（x）=x3-x
则g′（x）=x2-1
令g′（x）=0，则x=±1
∵g（-1）=，g（1）=
即函数g（x）=x3-x的极大值为，极小值为-
故k∈[-，]------------（10分）