Question

已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求f（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer

（Ⅰ）要证函数在（1，+∞）上是增函数，只需要证明其导数大于0即可；求导函数先研究函数的单调性，确定极值，从而确定函数的最值，分类讨论是解题的关键．
（Ⅱ）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值、最值即可．
证明：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x2-2lnx，当x∈（1，+∞）时，，所以f（x）在（1，+∞）上是增函数；   …（5分）
（Ⅱ）【解析】
，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）上单调递增，最小值为f（1）=1．
当a＞0，时，f（x）单调递减；当时，f（x）单调递增．
若，即0＜a≤2时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，又f（1）=1，，所以f（x）在[1，+∞）上的最小值为1．
若，即a＞2时，f（x）在上单调递减；在上单调递增．
又，所以f（x）在[1，+∞）上的最小值为．
综上，当a≤2时，f（x）在[1，+∞）上的最小值为1；
当a＞2时，f（x）在[1，+∞）上的最小值为．…（13分）