Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．
（Ⅰ）若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；
（Ⅱ）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．

Answer

（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x-4），由已知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），因为点F到直线l的距离为，所以，由此能求出直线l的斜率．
（Ⅱ）设线段AB中点的坐标为N（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB不垂直于x轴，所以直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，直线AB的方程为，由此能够证明线段AB中点的横坐标为定值．
【解析】
（Ⅰ）由已知，x=4不合题意．设直线l的方程为y=k（x-4），
由已知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），…（1分）
因为点F到直线l的距离为，
所以，…（3分）
解得，所以直线l的斜率为．…（5分）
（Ⅱ）设线段AB中点的坐标为N（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），
因为AB不垂直于x轴，
则直线MN的斜率为，
直线AB的斜率为，…（7分）
直线AB的方程为，…（8分）
联立方程
消去x得，…（10分）
所以，…（11分）
因为N为AB中点，
所以，即，…（13分）
所以x=2．即线段AB中点的横坐标为定值2．…（14分）