Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为2的正三角形，点A₁在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁A⊥BC；
（Ⅱ）当侧棱AA₁和底面成45°角时，求二面角A₁-AC-B的大小余弦值；
（Ⅲ）若D为侧棱A₁A上一点，当为何值时，BD⊥A₁C₁．

Answer

解法一：（Ⅰ）证明A1A⊥BC，只需证明BC⊥平面A1OA；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠A1AO=45°，过O作OE⊥AC于E，连接A1E，则∠A1EO为二面角A1-AC-B的平面角；
（Ⅲ）过D作DF∥A1O，交AO于F，则DF⊥平面ABC，要使BD⊥A1C1，只要BD⊥AC，即证BF⊥AC；
解法二：以O点为原点，OC为x轴，OA为y轴，OA1为z轴建立空间直角坐标系．
（Ⅰ）由题意知∠A1AO=45°，A1O=3，用坐标表示点与向量．根据•=0，可得结论；
（Ⅱ）求出面ACA1的法向量n1=（，1，1），面ABC的法向量为n2=（0，0，1），利用向量的夹角公式，即可求得结论．
（Ⅲ）A1C1∥AC，故只需BD⊥AC即可，要使BD⊥AC，须•=0，由此可得结论．
解法一：（Ⅰ）证明：连接AO，∵A1O⊥面ABC，BC⊂面ABC
∴A1O⊥BC
∵AO⊥BC，A1O∩AO=O
∴BC⊥平面A1OA
∵A1A⊂平面A1OA
∴A1A⊥BC．…3分
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）得∠A1AO=45°
由底面是边长为2的正三角形，可知AO=3，∴A1O=3，AA1=3
过O作OE⊥AC于E，连接A1E，则∠A1EO为二面角A1-AC-B的平面角…6分
∵OE=，∴tan∠A1EO=…9分
即二面角A1-AC-B的大小余弦值为．

（Ⅲ）【解析】
过D作DF∥A1O，交AO于F，则DF⊥平面ABC，∴BF为BD在面ABC内的射影，
又∵A1C1∥AC，∴要使BD⊥A1C1，只要BD⊥AC，即证BF⊥AC，
∴F为△ABC的中心，∴…8分

解法二：以O点为原点，OC为x轴，OA为y轴，OA1为z轴建立空间直角坐标系．
（Ⅰ）证明：由题意知∠A1AO=45°，A1O=3．
∴O（0，0，0），C（，0，0），A（0，3，0），A1（O，0，3），B（-，0，0）．
∵=（0，-3，3），=（2，0，0）
∴•=0×2+（-3）×0+3×0=0．
∴AA1⊥BC．…4分
（Ⅱ）【解析】
设面ACA1的法向量为n1=（x，y，z），
则
令z=1，则x=，y=1，∴n1=（，1，1）…6分
而面ABC的法向量为n2=（0，0，1）…8分
cos（n1，n2）=
又显然所求二面角的平面角为锐角，
∴所求二面角的大小为…9分
（Ⅲ）【解析】
A1C1∥AC，故只需BD⊥AC即可，设AD=a，则D（0，3-a，a）
又B（-，0，0），则=（-，3-a，a），=（，-3，0）．
要使BD⊥AC，须•=3-3（3-a）=0，
得a=2，而AA1=3，∴A1D=，
∴…13分．