Question

已知数列{a_n}的前项和为S_n，点（a_n+2，S_n+1）在直线y=4x-5上，其中n∈N，令b_n=a_n+1-2a_n，且a₁=1．
（1）求证数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）先根据已知条件得到Sn+1=4（an+2）-5=4an+3； 进而得到Sn=4an-1+3；另个等式相结合即可得到数列{an-2an-1}是以2为首相，2为公比的等比数列，即数列{bn}是等比数列；
（2）先求出数列{nbn}的通项公式，再利用错位相减法求数列{nbn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）因为点（an+2，Sn+1）在直线y=4x-5上；
∴Sn+1=4（an+2）-5=4an+3；  ①
s2=4a1+3=a1+a2⇒a2=4；
∴Sn=4an-1+3；②
∴①-②：an+1=4an-4an-1；
∴an+1-2an=2（an-2an-1）；
数列{an-2an-1}是以2为首相，2为公比的等比数列；
即数列{bn}是等比数列；
所以：bn=an+1-2an=2n+1；
（2）∵nbn=n•2n+1；
∴Tn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1；③
∴2Tn=1×23+2×24+…+（n-1）•2n+1+n•2n+2；④
③-④：-Tn=1×22+23+24+…+2n+1-n•2n+2=-n•2n+2=4+（1-n）•2n+2；
∴．