Question

已知椭圆C：，过点（-，）离心率e=．
（1）求椭圆方程；
（2）若过点（1，0）的直线l与椭圆C交于E，F两点，且以EF为直径的圆过原点，试求直线l方程；
（3）过点A（3，0）作直线与椭圆交于B，C两点且x_B+x_C=2，若直线L：y=kx+m是直线BC垂直平分线，求m的取值范围．

Answer

（1）利用条件建立方程，求解a，b．
（2）设出直线方程，利用EF为直径的圆过原点，确定直线的斜率．
（3）出直线方程，利用xB+xC=2和y=kx+m是直线BC垂直平分线，确定m的取值范围．
【解析】
（1）因为椭圆过点（-，），所以，…（1分）
又离心率，…（3分）
解得a=2，b=1，所以椭圆方程：…（4分）
（2）由题义得OE⊥OF，…（5分）
L：y=k（x-1），
代入得：（1+4k2）x2-8k2x+4（k2-1）=0  ①…（6分）
设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，
即  ②
由①得，
代入②得：，即k2-4=0，解得k=±2，所以l：y=2x-2或y=-2x+2…（8分）
（3）设BC的中点D（x，y），B（xB，yB）、C（xC，yC ），
则xB+xC=2x=2，所以  x=1，yB+yC=2y…（9分）
又，
两式相减得，即…（10分）
即，l：y=4y+m
当x=1时，y=4y+m，即 ，
D（1，）在椭圆内   …（12分）
得…（14分）