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高中数学试题
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设x1、x2∈R,规定运算“*”:x1*x2=(x1+x2)2+(x1-x2)2...
设x
1
、x
2
∈R,规定运算“*”:x
1
*x
2
=(x
1
+x
2
)
2
+(x
1
-x
2
)
2
.
(Ⅰ)若x≥0,a>0,求动点P(x,
)的轨迹c;
(Ⅱ)设P(x,y)是平面内任意一点,定义:d
1
(p)=
,d
2
(p)=
,问在(Ⅰ)中的轨迹c上是否存在两点A
1
、A
2
,使之满足d
1
(A
i
)=
)(i=1、2),若存在,求出a的范围.
(I)由题中“*”运算的定义,得动点P(x,)满足,得y2=2(a2+x2),化简即得所求轨迹c是焦点在y轴上的双曲线,在第一象限内的一部分; (II)根据题意,化简得且d2(p)=|x-a|,假设存在两点A1、A2满足题设的条件,y2=2(a2+x2)消去y得关于x的一元二次方程:(3-a)x2+2a2x+2a2-a3=0,此方程有两个非负的实数根.由此结合根的判别式与韦达定理,建立关于a的不等式组并解之,即可得到实数a的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)∵ ∴当x≥0时,设P(x,y),则, ∴y2=2(a2+x2)(y>0)化简得(x≥0,y>0), 所求轨迹c是实半轴长为、虚半轴长为a,焦点在y轴上的双曲线, 在第一象限内的一部分(包括上顶点)…6′ (Ⅱ),. 假设存在两点A1、A2,使得(i=1、2),即. ∴x2+y2=a•(x-a)2, 又∵y2=2(a2+x2),∴x2+2(a2+x2)=a•(x-a)2, 即(3-a)x2+2a2x+2a2-a3=0有两非负实数根.…10′ ∴ 故当a>3时,存在适合条件的两点.…13′.
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考点分析:
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3
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,
,
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,
与
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,求
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.
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1
、x
2
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.请写出这样的一个函数f(x)=
.
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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