Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC，PA=AC，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥平面ABC，
（1）求证：OD∥平面PAB；
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）M是线段PA上的动点，当二面角M-BO-D的大小为45°时，求|PM|：|MA|的值．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，分别求出OD和PA的方向向量，利用共线向量证明线线平行后，再由线面平行的判定定理得到OD∥平面PAB；
（2）求出直线PA的方向向量和平面PBC的法向量，代入向量夹角公式，可得直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）设存在满足条件的点M，根据二面角M-BO-D的大小为45°，可得二面角的平面角∠MOD=45°，则在△AMO中，∠AMO=45°，∠MAO=60°，∠AOM=75°，AO=a，解△AMO，可得|PM|：|MA|的值．
【解析】
∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，
∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．
以O为原点，OA，OB，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图），
设AB=a，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（-a，0，0），
设OP=h，则P（0，0，h）．
（Ⅰ）∵D为PC的中点，
∴=（a，0，h）
又∵=（a，0，h）．
∴=
∴∥
即OD∥PA
又∵OD⊄平面PAB，PA⊂平面PAB
∴OD∥平面PAB．
（Ⅱ）∵PA=AC=a
∴h=a，P点坐标为（0，0，a），
∴=（a，0，-a），=B（0，a，-a），=（-a，0，-a），
设平面PBC的法向量为=（x，y，z），
则，即
令z=1，则=（，，1）
则直线PA与平面PBC所成角θ满足，
sinθ==
即直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
（3）设存在满足条件的点M，
∵M点在线段PA上，故可设=λ（0≤λ≤1）
∵BO⊥PAC，MO，DO⊂平面PAC，
∴∠MOD即为二面角M-BO-D的平面角
即∠MOD=45°
由（1）中OD∥PA，可得△AMO中，∠AMO=45°，∠MAO=60°，则∠AOM=75°，
由正弦定理及AO=a得
AM=a，PM=（-）a
∴|PM|：|MA|=a：（-）a=